Gleichungen Lösen
Lineare und quadratische Gleichungen mit vollständigem Rechenweg lösen. pq-Formel, Mitternachtsformel oder freie Eingabe.
Tippe eine Gleichung ein — wir erkennen den Typ automatisch.
Beispiele anklicken:
Gleichungen wirklich verstehen?
Unser KI-Tutor erklärt dir Gleichungen Schritt für Schritt — auf deinem Niveau.
Vom KI-Tutor erklären lassenGleichungen lösen — einfach erklärt
Gleichungen lösen ist eines der wichtigsten Themen in der Schulmathematik. Ob lineare oder quadratische Gleichung — das Prinzip ist immer gleich: Finde den Wert von x, der die Gleichung wahr macht.
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung enthält x nur in der ersten Potenz (kein x²). Das Ziel: x allein auf einer Seite isolieren.
x-Terme auf eine Seite
Alle Terme mit x auf die linke Seite bringen.
Zahlen auf die andere Seite
Alle Zahlenwerte auf die rechte Seite bringen.
Durch den Koeffizienten teilen
Beide Seiten durch die Zahl vor x teilen → fertig!
Beispiel: 2x + 3 = 7
2x = 7 − 3 = 4 → x = 4 ÷ 2 = 2
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung enthält x² als höchste Potenz. Es gibt bis zu zwei Lösungen. Die wichtigsten Lösungsmethoden:
pq-Formel (Normalform)
Für Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Die pq-Formel ist in den meisten Bundesländern die Standardmethode:
pq-Formel
x&sub1;‚&sub2; = −(p/2) ± √((p/2)² − q)
Beispiel: x² − 5x + 6 = 0
p = −5, q = 6. D = (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25. √0,25 = 0,5. x&sub1; = 2,5 + 0,5 = 3, x&sub2; = 2,5 − 0,5 = 2
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0, wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist:
abc-Formel (Mitternachtsformel)
x&sub1;‚&sub2; = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Beispiel: 2x² − 8x + 6 = 0
a = 2, b = −8, c = 6. D = 64 − 48 = 16. √16 = 4. x&sub1; = (8 + 4)/4 = 3, x&sub2; = (8 − 4)/4 = 1
Die Diskriminante
| Diskriminante D | Anzahl Lösungen | Bedeutung |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 Lösungen | Parabel schneidet x-Achse zweimal |
| D = 0 | 1 Lösung | Parabel berührt x-Achse (Doppelte Nullstelle) |
| D < 0 | Keine reelle Lösung | Parabel liegt über/unter der x-Achse |
Gleichungen in der ZP10
Gleichungen sind ein Kernthema der ZP10 Mathematik (Zentrale Prüfung Klasse 10 in NRW). Lineare Gleichungen kommen fast immer in Teil 1 vor (ohne Taschenrechner!). Quadratische Gleichungen können in Teil 2 vorkommen. Besonders die pq-Formel solltest du sicher beherrschen.
Typische Fehler beim Gleichungslösen
- Vorzeichen vergessen: Beim Überstellen wechselt das Vorzeichen! Aus „+3“ auf der linken Seite wird „−3“ auf der rechten.
- Klammern falsch auflösen: −(2x + 3) = −2x − 3, nicht −2x + 3!
- pq-Formel auf nicht-Normalform anwenden: Erst durch den x²-Koeffizienten teilen, dann pq-Formel.
- Diskriminante nicht prüfen: Wenn D < 0, gibt es keine reelle Lösung. Nicht versuchen, die Wurzel zu ziehen!
Gleichungen üben
6 Aufgaben zum Selbsttesten — lineare und quadratische Gleichungen gemischt.
3x + 6 = 0
5x − 3 = 2x + 9
x² − 5x + 6 = 0
x² + 4x − 5 = 0
2x² − 8x + 6 = 0
x² − 9 = 0
Häufige Fragen
Wie löse ich eine lineare Gleichung?▼
Was ist die pq-Formel?▼
Was ist die Mitternachtsformel (abc-Formel)?▼
Wann benutze ich pq-Formel und wann abc-Formel?▼
Was ist die Diskriminante?▼
Kommen Gleichungen in der ZP10 vor?▼
Kann der Rechner auch Gleichungen mit x auf beiden Seiten lösen?▼
Ist der Gleichungslöser kostenlos?▼
Gleichungen verstehen — nicht nur berechnen
Unser KI-Tutor erklärt dir Gleichungen Schritt für Schritt — auf deinem Niveau.
5 Nachrichten pro Tag · Keine Anmeldung nötig · Keine Kreditkarte