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Gleichungen Lösen

Lineare und quadratische Gleichungen mit vollständigem Rechenweg lösen. pq-Formel, Mitternachtsformel oder freie Eingabe.

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Gleichungen lösen — einfach erklärt

Gleichungen lösen ist eines der wichtigsten Themen in der Schulmathematik. Ob lineare oder quadratische Gleichung — das Prinzip ist immer gleich: Finde den Wert von x, der die Gleichung wahr macht.

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung enthält x nur in der ersten Potenz (kein x²). Das Ziel: x allein auf einer Seite isolieren.

1

x-Terme auf eine Seite

Alle Terme mit x auf die linke Seite bringen.

2

Zahlen auf die andere Seite

Alle Zahlenwerte auf die rechte Seite bringen.

3

Durch den Koeffizienten teilen

Beide Seiten durch die Zahl vor x teilen → fertig!

Beispiel: 2x + 3 = 7

2x = 7 − 3 = 4 → x = 4 ÷ 2 = 2

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung enthält x² als höchste Potenz. Es gibt bis zu zwei Lösungen. Die wichtigsten Lösungsmethoden:

pq-Formel (Normalform)

Für Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Die pq-Formel ist in den meisten Bundesländern die Standardmethode:

pq-Formel

x&sub1;‚&sub2; = −(p/2) ± √((p/2)² − q)

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0

p = −5, q = 6. D = (−2,5)² − 6 = 6,25 − 6 = 0,25. √0,25 = 0,5. x&sub1; = 2,5 + 0,5 = 3, x&sub2; = 2,5 − 0,5 = 2

Mitternachtsformel (abc-Formel)

Für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0, wenn der Koeffizient vor x² nicht 1 ist:

abc-Formel (Mitternachtsformel)

x&sub1;‚&sub2; = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Beispiel: 2x² − 8x + 6 = 0

a = 2, b = −8, c = 6. D = 64 − 48 = 16. √16 = 4. x&sub1; = (8 + 4)/4 = 3, x&sub2; = (8 − 4)/4 = 1

Die Diskriminante

Diskriminante DAnzahl LösungenBedeutung
D > 02 LösungenParabel schneidet x-Achse zweimal
D = 01 LösungParabel berührt x-Achse (Doppelte Nullstelle)
D < 0Keine reelle LösungParabel liegt über/unter der x-Achse

Gleichungen in der ZP10

Gleichungen sind ein Kernthema der ZP10 Mathematik (Zentrale Prüfung Klasse 10 in NRW). Lineare Gleichungen kommen fast immer in Teil 1 vor (ohne Taschenrechner!). Quadratische Gleichungen können in Teil 2 vorkommen. Besonders die pq-Formel solltest du sicher beherrschen.

Typische Fehler beim Gleichungslösen

  • Vorzeichen vergessen: Beim Überstellen wechselt das Vorzeichen! Aus „+3“ auf der linken Seite wird „−3“ auf der rechten.
  • Klammern falsch auflösen: −(2x + 3) = −2x − 3, nicht −2x + 3!
  • pq-Formel auf nicht-Normalform anwenden: Erst durch den x²-Koeffizienten teilen, dann pq-Formel.
  • Diskriminante nicht prüfen: Wenn D < 0, gibt es keine reelle Lösung. Nicht versuchen, die Wurzel zu ziehen!

Gleichungen üben

6 Aufgaben zum Selbsttesten — lineare und quadratische Gleichungen gemischt.

1

3x + 6 = 0

2

5x − 3 = 2x + 9

3

x² − 5x + 6 = 0

4

x² + 4x − 5 = 0

5

2x² − 8x + 6 = 0

6

x² − 9 = 0

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Häufige Fragen

Wie löse ich eine lineare Gleichung?▼
Bei einer linearen Gleichung (z.B. 2x + 3 = 7) bringst du alle Terme mit x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Schritt 1: 2x = 7 − 3 = 4. Schritt 2: x = 4 ÷ 2 = 2. Das Ziel ist immer: x allein auf einer Seite.
Was ist die pq-Formel?▼
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Die Formel lautet: x₁,₂ = −(p/2) ± √((p/2)² − q). Wenn die Diskriminante (p/2)² − q positiv ist → 2 Lösungen, null → 1 Lösung, negativ → keine reelle Lösung.
Was ist die Mitternachtsformel (abc-Formel)?▼
Die Mitternachtsformel löst die allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Die Formel: x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sie heißt "Mitternachtsformel", weil man sie auch nachts um 12 können soll. In manchen Bundesländern wird sie bevorzugt gelehrt.
Wann benutze ich pq-Formel und wann abc-Formel?▼
Die pq-Formel setzt voraus, dass der Koeffizient vor x² gleich 1 ist (Normalform). Bei der abc-Formel darf er beliebig sein. Tipp: Teile einfach die ganze Gleichung durch den x²-Koeffizienten, um die pq-Formel zu nutzen. In NRW wird meist die pq-Formel gelehrt.
Was ist die Diskriminante?▼
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel: Bei der pq-Formel ist es D = (p/2)² − q, bei der abc-Formel D = b² − 4ac. Sie bestimmt die Anzahl der Lösungen: D > 0 → 2 Lösungen, D = 0 → 1 Lösung (doppelte Nullstelle), D < 0 → keine reelle Lösung.
Kommen Gleichungen in der ZP10 vor?▼
Ja! Gleichungen sind ein absolutes Kernthema der ZP10 Mathematik. Lineare Gleichungen kommen regelmäßig in Teil 1 (ohne Taschenrechner) vor. Quadratische Gleichungen können in Teil 2 vorkommen. Die pq-Formel solltest du im Schlaf beherrschen.
Kann der Rechner auch Gleichungen mit x auf beiden Seiten lösen?▼
Ja! Gib z.B. "3x + 1 = 2x + 5" ein. Der Rechner bringt automatisch alle x-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Der Rechenweg zeigt dir genau, was passiert.
Ist der Gleichungslöser kostenlos?▼
Ja, der Gleichungslöser ist vollständig kostenlos und ohne Anmeldung nutzbar. Alle Lösungswege — linear, pq-Formel und Mitternachtsformel — sind gratis.

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