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pq-Formel Rechner

Quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 Schritt für Schritt lösen — mit Diskriminante und vollständigem Rechenweg.

Gleichung der Form x² + px + q = 0

Normalform: x² + px + q = 0

x² + px + q = 0

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Die pq-Formel — einfach erklärt

Die pq-Formel ist die wichtigste Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Sie funktioniert für jede Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 — also immer dann, wenn vor dem x² keine Zahl (bzw. eine 1) steht.

Die Formel

x₁,₂ = −(p/2) ± √((p/2)² − q)

p und q liest du direkt aus der Gleichung x² + px + q = 0 ab.

In 4 Schritten zur Lösung

1

Normalform herstellen

Steht vor x² eine Zahl, teile die ganze Gleichung durch diese Zahl.

2

p und q ablesen

p ist die Zahl vor x, q ist die Zahl ohne x (jeweils mit Vorzeichen).

3

Diskriminante berechnen

D = (p/2)² − q. Ist D negativ, gibt es keine reelle Lösung.

4

Einsetzen & ausrechnen

x₁,₂ = −(p/2) ± √D ergibt die beiden Lösungen.

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0

p = −5, q = 6. D = (−2,5)² − 6 = 0,25. √0,25 = 0,5. x₁ = 2,5 + 0,5 = 3, x₂ = 2,5 − 0,5 = 2

Die Diskriminante: wie viele Lösungen?

Diskriminante DAnzahl LösungenBedeutung
D > 02 LösungenParabel schneidet die x-Achse zweimal
D = 01 LösungParabel berührt die x-Achse (doppelte Nullstelle)
D < 0keine reelle LösungParabel schneidet die x-Achse nicht

pq-Formel oder Mitternachtsformel?

Steht vor dem x² eine Zahl ungleich 1 (z.B. 2x² + 6x − 8 = 0), hast du zwei Wege: entweder zuerst durch diese Zahl teilen und dann die pq-Formel nutzen, oder direkt die Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden. In NRW wird meist die pq-Formel gelehrt. Beide Wege findest du im allgemeinen Gleichungslöser.

Typische Fehler bei der pq-Formel

  • Nicht in Normalform gebracht: Die pq-Formel braucht den Koeffizienten 1 vor x². Erst teilen, dann ablesen.
  • Vorzeichen von p und q vergessen: Bei x² − 5x + 6 ist p = −5 (nicht 5!) und q = 6.
  • Das Minus vor (p/2) vergessen: Es heißt −(p/2), nicht (p/2).
  • Diskriminante nicht geprüft: Bei D < 0 gibt es keine reelle Lösung — nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

pq-Formel üben

6 quadratische Gleichungen zum Selbsttesten — inklusive doppelter Nullstelle und „keine Lösung“.

1

x² − 5x + 6 = 0

2

x² + 4x − 5 = 0

3

x² − 6x + 9 = 0

4

x² + 2x + 5 = 0

5

x² − 9 = 0

6

2x² + 6x − 8 = 0

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Häufige Fragen

Was ist die pq-Formel?▼
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0. Die Formel lautet: x₁,₂ = −(p/2) ± √((p/2)² − q). Du liest p und q direkt aus der Gleichung ab, setzt sie ein und erhältst bis zu zwei Lösungen.
Wie wende ich die pq-Formel Schritt für Schritt an?▼
Schritt 1: Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 bringen (Koeffizient vor x² muss 1 sein). Schritt 2: p und q ablesen. Schritt 3: Diskriminante D = (p/2)² − q berechnen. Schritt 4: x₁,₂ = −(p/2) ± √D. Der Rechner oben zeigt dir jeden dieser Schritte mit deinen Zahlen.
Was mache ich, wenn vor dem x² eine Zahl steht?▼
Die pq-Formel funktioniert nur in der Normalform (Koeffizient vor x² gleich 1). Steht z.B. 2x² + 6x − 8 = 0, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch 2 → x² + 3x − 4 = 0. Danach kannst du p = 3 und q = −4 ablesen. Alternativ nutzt du direkt die Mitternachtsformel (abc-Formel).
Was ist die Diskriminante und was sagt sie aus?▼
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel: D = (p/2)² − q. Sie bestimmt die Anzahl der Lösungen: D > 0 → zwei Lösungen, D = 0 → eine (doppelte) Lösung, D < 0 → keine reelle Lösung. Immer zuerst D prüfen, bevor du die Wurzel ziehst.
Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?▼
Die pq-Formel setzt die Normalform x² + px + q = 0 voraus (Koeffizient vor x² = 1). Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 mit beliebigem a. In NRW und vielen anderen Bundesländern wird meist die pq-Formel gelehrt; teile bei Bedarf einfach durch a, um sie anzuwenden.
Kommt die pq-Formel in der ZP10 vor?▼
Ja. Quadratische Gleichungen und die pq-Formel sind ein Kernthema der ZP10 Mathematik (Zentrale Prüfung Klasse 10 in NRW) und tauchen typischerweise im Teil mit Taschenrechner auf. Die pq-Formel solltest du sicher im Schlaf beherrschen.
Ist der pq-Formel Rechner kostenlos?▼
Ja, der pq-Formel Rechner ist vollständig kostenlos und ohne Anmeldung nutzbar. Du bekommst zu jeder Gleichung den kompletten Rechenweg inklusive Diskriminante angezeigt.

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